Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Estudio de la Continuidad

1. Resolvemos la operación del denominador para sacar los puntos críticos (lo igualamos a 0).

2. Estudiamos la continuidad para cada punto obtenido:

• Si los límites laterales coinciden y la imagen coincide: La función es continua.
• Si coinciden pero la imagen no: Discontinuidad de salto evitable.
• Si los resultados no coinciden: Discontinuidad de salto finito/infinito.

Para las funciones a trozos:

• Los puntos críticos serán los dados en la función.
• Hay que hacer una recta representando los puntos críticos y a qué lugar está cada ecuación.
• Al estudiar la continuidad el valor deberá ser el punto crítico.

Estudio de la Derivabilidad

1. Estudiamos la continuidad. Para que la función sea derivable f(x) debe ser continua.... Continuar leyendo "Guía Completa para el Análisis de Funciones" »

Recta de Regresión

La recta de regresión es aquella a la que más se aproximan los puntos de un diagrama de dispersión.

Recta de Regresión de Y sobre X

Esta recta se define como aquella que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales (coordenadas 'Y') de los puntos a la recta.

Estimación de Valores

En ocasiones, es necesario estimar valores que no se encuentran explícitamente en una tabla de datos. Si se requiere predecir un valor de 'Y' basándose en un valor de 'X', se utiliza la recta de regresión de Y sobre X. La precisión de esta estimación mejora significativamente con una correlación más fuerte entre las variables y cuando los puntos a estimar se encuentran dentro del rango de los datos observados.

Recta de Regresión

Contraste de White: Detección de Heterocedasticidad

En 1980, White propuso un contraste de heterocedasticidad que examina si u²j está incorrelacionado con todas las variables explicativas del modelo, sus cuadrados y sus productos cruzados. Este método es fundamental para validar los supuestos de los modelos econométricos.

Procedimiento del Contraste de White

1. Estimar el modelo original por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) y obtener los residuos (e).
2. Estimar una regresión auxiliar de los residuos al cuadrado (e²) frente a las variables explicativas originales, sus cuadrados y sus productos cruzados.
3. Formular las hipótesis del contraste:
   • H₀: α₀ = α₁ = ... = αₖ = 0 (No hay heterocedasticidad)
   • H₁: No H₀ (Existe heterocedasticidad)

Hitlerren Inbaditzak

2.3 EG41

Hitlerrek bizargorri operazioa, Sobietar batasuna inbaditzeko. Hiru armada hiru milioi gizon. Helb egun gutxiren bururna herrik konkistatu. Sesb porrot bi gauzarako balio: ek okupat, petrlio bermatu. Sobietar ez etsi erresistentziaz eutsi nahiz eta herriak abandonatu. Errusia negua tropa ale gelditu. Armad milioierdi soldad galdu eta armak. Armad gorri 5milio erreserbista deitu. Ale erasoa geldi eta eki fronteaa egonkortu.

2.4 MGO41

Japonia abiazioa eraso harborri EB base nagusiari. Ondorioz sartu eb gerran, Japonia herri inbaditu: 1britaniarren mende malasiasingapur eremu 2eb filipinak 3frantz indotxina 4herbeherak eki india. Japonia aurrera egin ikusita, eb ekono gerra potentzia aliatuen alderdian jarri. Eb Japonia... Continuar leyendo "Bigarren Mundu Gerra: Hitlerren Inbaditzak eta Japoniaren Erasoa" »

Ecuaciones de la Recta en el Espacio

Una recta r en el espacio tridimensional queda determinada por un punto P(P_x, P_y, P_z) por el que pasa y un vector director v(v_x, v_y, v_z) que indica su dirección.

Tipos de Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Vectorial: Representa cualquier punto (x, y, z) de la recta como la suma del punto P y un múltiplo escalar (λ) del vector director.

  (x, y, z) = (Px, Py, Pz) + λ(vx, vy, vz)

• Ecuaciones Paramétricas: Se obtienen descomponiendo la ecuación vectorial en sus componentes.

  x = Px + λvx
y = Py + λvy
z = Pz + λvz

• Ecuación Continua: Se obtiene despejando el parámetro λ en las ecuaciones paramétricas e igualando (válida si v_x, v_y, v_z son distintos de cero).

  (x - Px) / vx = (y - Py) / vy = (z - Pz) / vz

• Ecuación

Resumen de Fórmulas Fundamentales de Física

Este compendio reúne las ecuaciones clave de las principales áreas de la física, optimizado para una consulta rápida y eficiente.

Campo Gravitatorio

Fuerza y Campo

• Fuerza Gravitatoria: $\vec{F} = -\frac{G M m}{r^2} \vec{u}_r$
• Intensidad del Campo Gravitatorio: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$
• Relación entre $G M$ y gravedad superficial: $G M = g_0 R^2$

Leyes de Kepler y Movimiento Orbital

• Momento Angular: $L = r \cdot p$, donde $p = m \cdot v$. (Conservación: $L_a = L_b$)
• Velocidad Orbital (Circular): $V = \sqrt{\frac{G M_p}{R}}$
• Tercera Ley de Kepler: $\frac{R_1^3}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{T_2^2}$ (Constante)

Energía

• Energía Potencial Gravitatoria: $E_p = -\frac{G M m}{r}$
• Potencial Gravitatorio: $V_g = \

Suma

Para realizar una suma, sigue estos pasos:

1. Escribe los sumandos uno debajo de otro, de manera que las unidades del mismo orden de los diferentes números queden situadas en la misma columna.
2. Traza una raya horizontal debajo del último sumando.
3. Suma las cifras que se encuentran en la columna de la derecha.
4. Si el resultado de la suma es menor que 10, escribe el resultado en dicha columna debajo de la raya y pasa a sumar la columna siguiente.
5. Si el resultado de la suma es mayor o igual que 10, escribe las unidades en la columna y la cifra de las decenas se añade a la suma de la columna siguiente.
6. Continúa el procedimiento hasta llegar a la última columna. El resultado de sumar la última columna se escribe íntegro debajo de la raya.
7. El número

Conceptos Básicos de Derivadas

Si X es un intervalo abierto, f: X->R una función continua en a ∈ X, se dice que f es derivable en a si existe el límite:

y es un número real (es decir, no es infinito). El valor del límite lo denominamos derivada de f en x = a, y lo representamos por f’(a), Df(a) o por df/dx (a).

Derivada por la Derecha

Si X es un intervalo, f: X -> R una función y a ∈ X, se dice que f es derivable por la derecha en a si existe el límite por la derecha y es finito:

Al valor del límite lo llamamos derivada por la derecha de f en x = a, y lo representamos por f’(a+). Es decir, la variable se aproxima al punto por la derecha, y por tanto es siempre x > a.

Derivada por la Izquierda

Si X es un intervalo, f: X ->... Continuar leyendo "Derivadas y Teoremas de Rolle, Cauchy y Valor Medio: Conceptos Básicos" »