Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Bachillerato

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal

Espacios Vectoriales (EV)

Un Espacio Vectorial (EV) se define como una estructura algebraica conformada por un conjunto no vacío de elementos, denominados vectores, junto con dos operaciones:

• Una operación interna (suma de vectores).
• Una operación externa (producto de un vector por un escalar).

Subespacios Vectoriales (SEV)

Un subconjunto W de un Espacio Vectorial V se considera un Subespacio Vectorial (SEV) si, al heredar las operaciones de V, W mismo constituye un Espacio Vectorial.

Combinación Lineal (C.L.)

Dados los vectores v, v1, ..., vn de un Espacio Vectorial V, diremos que v es una Combinación Lineal (C.L.) de los vectores v1, ..., vn si existen n escalares del cuerpo tal que: v = α1*v1 + α2*

Preguntas y respuestas de estadística

Pruebas de hipótesis y análisis de datos

Prueba de rachas

34. Se ha realizado una encuesta a N=50 individuos, recogiendo varias variables: género, edad e ingresos. Si queremos contrastar si el orden en el que fueron entrevistados es aleatorio respecto al género, debemos aplicar:

**Prueba de rachas**

Prueba de rachas de residuos

35. Si en un modelo de regresión lineal se realiza la prueba de rachas de los residuos y se obtiene p-valor=1, esto nos indica:

**Los residuos son independientes**

Análisis de la varianza (ANOVA)

36. Intuitivamente, ¿qué te llevaría a rechazar la hipótesis del análisis de la varianza?

**MCTR (Media de los cuadrados del tratamiento) grande y MCE (Media de los cuadrados del error)... Continuar leyendo "Guía de conceptos estadísticos: Pruebas, análisis y modelos" »

Estudio de la Continuidad

1. Resolvemos la operación del denominador para sacar los puntos críticos (lo igualamos a 0).

2. Estudiamos la continuidad para cada punto obtenido:

• Si los límites laterales coinciden y la imagen coincide: La función es continua.
• Si coinciden pero la imagen no: Discontinuidad de salto evitable.
• Si los resultados no coinciden: Discontinuidad de salto finito/infinito.

Para las funciones a trozos:

• Los puntos críticos serán los dados en la función.
• Hay que hacer una recta representando los puntos críticos y a qué lugar está cada ecuación.
• Al estudiar la continuidad el valor deberá ser el punto crítico.

Estudio de la Derivabilidad

1. Estudiamos la continuidad. Para que la función sea derivable f(x) debe ser continua.... Continuar leyendo "Guía Completa para el Análisis de Funciones" »

Recta de Regresión

La recta de regresión es aquella a la que más se aproximan los puntos de un diagrama de dispersión.

Recta de Regresión de Y sobre X

Esta recta se define como aquella que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias verticales (coordenadas 'Y') de los puntos a la recta.

Estimación de Valores

En ocasiones, es necesario estimar valores que no se encuentran explícitamente en una tabla de datos. Si se requiere predecir un valor de 'Y' basándose en un valor de 'X', se utiliza la recta de regresión de Y sobre X. La precisión de esta estimación mejora significativamente con una correlación más fuerte entre las variables y cuando los puntos a estimar se encuentran dentro del rango de los datos observados.

Recta de Regresión

Contraste de White: Detección de Heterocedasticidad

En 1980, White propuso un contraste de heterocedasticidad que examina si u²j está incorrelacionado con todas las variables explicativas del modelo, sus cuadrados y sus productos cruzados. Este método es fundamental para validar los supuestos de los modelos econométricos.

Procedimiento del Contraste de White

1. Estimar el modelo original por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) y obtener los residuos (e).
2. Estimar una regresión auxiliar de los residuos al cuadrado (e²) frente a las variables explicativas originales, sus cuadrados y sus productos cruzados.
3. Formular las hipótesis del contraste:
   • H₀: α₀ = α₁ = ... = αₖ = 0 (No hay heterocedasticidad)
   • H₁: No H₀ (Existe heterocedasticidad)

Hitlerren Inbaditzak

2.3 EG41

Hitlerrek bizargorri operazioa, Sobietar batasuna inbaditzeko. Hiru armada hiru milioi gizon. Helb egun gutxiren bururna herrik konkistatu. Sesb porrot bi gauzarako balio: ek okupat, petrlio bermatu. Sobietar ez etsi erresistentziaz eutsi nahiz eta herriak abandonatu. Errusia negua tropa ale gelditu. Armad milioierdi soldad galdu eta armak. Armad gorri 5milio erreserbista deitu. Ale erasoa geldi eta eki fronteaa egonkortu.

2.4 MGO41

Japonia abiazioa eraso harborri EB base nagusiari. Ondorioz sartu eb gerran, Japonia herri inbaditu: 1britaniarren mende malasiasingapur eremu 2eb filipinak 3frantz indotxina 4herbeherak eki india. Japonia aurrera egin ikusita, eb ekono gerra potentzia aliatuen alderdian jarri. Eb Japonia... Continuar leyendo "Bigarren Mundu Gerra: Hitlerren Inbaditzak eta Japoniaren Erasoa" »

Estimadores de Parámetros Poblacionales

Supongamos que tenemos una población con función de densidad f(x, O), en donde O es el parámetro desconocido. Consideramos tres estimadores O1, O2 y O3 del parámetro O, basados en muestras aleatorias del mismo tamaño. Las distribuciones de los tres estimadores son las que aparecen en el gráfico, donde se observa que las distribuciones correspondientes a O1 y O3 tienen como media el parámetro poblacional o. Es decir, ambos estimadores O1 y O3 son insesgados. Sin embargo, la distribución de O2 es sesgada, ya que tiene un sesgo positivo, pues su media es mayor que el parámetro poblacional.

Varianza de los Estimadores

En cuanto a la varianza de los tres estimadores, se observa que la más pequeña... Continuar leyendo "Estimadores de Parámetros Poblacionales: Comparativa entre Tests de Pearson y Kolmogorov-Smirnov" »

Ecuaciones de la Recta en el Espacio

Una recta r en el espacio tridimensional queda determinada por un punto P(P_x, P_y, P_z) por el que pasa y un vector director v(v_x, v_y, v_z) que indica su dirección.

Tipos de Ecuaciones de la Recta

• Ecuación Vectorial: Representa cualquier punto (x, y, z) de la recta como la suma del punto P y un múltiplo escalar (λ) del vector director.

  (x, y, z) = (Px, Py, Pz) + λ(vx, vy, vz)

• Ecuaciones Paramétricas: Se obtienen descomponiendo la ecuación vectorial en sus componentes.

  x = Px + λvx
y = Py + λvy
z = Pz + λvz

• Ecuación Continua: Se obtiene despejando el parámetro λ en las ecuaciones paramétricas e igualando (válida si v_x, v_y, v_z son distintos de cero).

  (x - Px) / vx = (y - Py) / vy = (z - Pz) / vz

• Ecuación

Resumen de Fórmulas Fundamentales de Física

Este compendio reúne las ecuaciones clave de las principales áreas de la física, optimizado para una consulta rápida y eficiente.

Campo Gravitatorio

Fuerza y Campo

• Fuerza Gravitatoria: $\vec{F} = -\frac{G M m}{r^2} \vec{u}_r$
• Intensidad del Campo Gravitatorio: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$
• Relación entre $G M$ y gravedad superficial: $G M = g_0 R^2$

Leyes de Kepler y Movimiento Orbital

• Momento Angular: $L = r \cdot p$, donde $p = m \cdot v$. (Conservación: $L_a = L_b$)
• Velocidad Orbital (Circular): $V = \sqrt{\frac{G M_p}{R}}$
• Tercera Ley de Kepler: $\frac{R_1^3}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{T_2^2}$ (Constante)

Energía

• Energía Potencial Gravitatoria: $E_p = -\frac{G M m}{r}$
• Potencial Gravitatorio: $V_g = \