Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y problemas de Matemáticas

Introducción a los Entes Fundamentales de la Geometría

El espacio se define como el conjunto de todos los puntos. Una figura geométrica es cualquier subconjunto de puntos del espacio.

Existen tres entes fundamentales e indefinibles en geometría, que solo es posible describir en relación con otros elementos similares. Estos son el punto, la recta y el plano.

El Punto

El punto no posee longitud, área, volumen, ni otra magnitud dimensional. No es un objeto físico, sino que describe una posición en el espacio, determinada respecto a un sistema de coordenadas preestablecido.

La Recta

La recta se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos. Es una sucesión continua e indefinida de puntos en una sola... Continuar leyendo "Fundamentos de Geometría Euclídea: Conceptos Esenciales de Puntos, Rectas y Planos" »

Métodos Esenciales de Factorización Algebraica

1. Factorización de la Suma o Diferencia de Cubos Perfectos

Este método se aplica a binomios que son la suma o diferencia de dos términos elevados al cubo.

Pasos para la Factorización:

• Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio.
• Se forma un producto de dos factores: un factor binomio y un factor trinomio.
• El factor binomio es la suma (o diferencia) de las raíces cúbicas obtenidas.
• El factor trinomio se determina así:
  • El cuadrado de la primera raíz.
  • Menos el producto de estas raíces.
  • Más el cuadrado de la segunda raíz.

2. Factorización de una Diferencia de Cuadrados: Dos Binomios Conjugados

La diferencia de cuadrados es uno de los casos de factorización más comunes, resultando siempre... Continuar leyendo "Dominando los 3 Métodos Clave de Factorización de Polinomios" »

Cuadrado de una Suma

Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que: "El cuadrado de una suma es la suma de los cuadrados MÁS el doble del producto." Es decir, que el resultado de elevar al cuadrado la suma de dos números es el mismo que si sumamos los cuadrados de ambos números y añadimos el doble de su producto. Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería:

(a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a² + 2ab + b²

Ahora vamos a comprobar geométricamente esa misma identidad notable:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

Cuadrado de una Diferencia

Los productos notables cumplen con ciertas reglas determinadas cuyo resultado puede escribirse sin verificar la multiplicación. Las letras representan números reales... Continuar leyendo "Identidades Notables: Cuadrado, Suma, Diferencia y Cubo" »

PARTE 1: Estimación de Ingresos y Proyección de Costes por Escenarios (2019-2021)

Preparación de Datos Base

El enunciado requiere la proyección de datos desde 2019 hasta 2021.

Copiar la tabla del enunciado hasta la columna Total. Añadir a esta tabla el año 2018, utilizando los mismos números que figuran en el total, y también añadir las proyecciones de 2019 a 2021.

1. Estimación de Ingresos

La estimación de ingresos se calcula mediante las siguientes fórmulas:

Fórmulas de Proyección de Ingresos

• 2019: $I_{2019} = \text{Nº uds} \times (1 + \text{Crecimiento Esperado}) \times \text{Modificador de Precios}$
• 2020: $I_{2020} = \text{Nº uds} \times (1 + \text{Crecimiento Esperado}_{2019}) \times (1 + \text{Crecimiento}_{2020}) \times \text{

Fundamentos Esenciales en el Modelado de Series Temporales

El test formal para verificar la estacionariedad de una serie es el test de raíces unitarias. Este procedimiento busca determinar si el modelo exhibe crecimiento o no.

Clasificación de Integración (I)

• Si no crece: Se clasifica como $I(0) + c$, $I(1)$, o $I(2)$.
• Si crece: Se clasifica como $I(0) + c + b*2$, $I(1) + c$, o $I(2)$.

Procedimiento de Prueba de Raíces Unitarias: Test de Dickey-Fuller (DF)

El procedimiento fundamental que utilizaremos es el test de Dickey-Fuller.

Ejemplo: Caso de No Crecimiento

Comenzamos comparando las hipótesis:

• $H_0$: $I(1)$ vs $H_1$: $I(0) + c$.

Nota Importante: El primer paso siempre se realiza en niveles.

La regresión asociada sería:

$$ \Delta y_{t-1} + c... Continuar leyendo "Fundamentos de Modelos de Series Temporales: Estacionariedad, Cointegración y Procesos ARMA/VAR" »

Conceptos Fundamentales de Hipótesis

Hipótesis Nula (H₀)

La Hipótesis Nula (H₀) es un supuesto de no diferencia, de no cambio, de no asociación, etc. Es una hipótesis conservadora y, dado que habitualmente se investiga para observar diferencias, cambios o asociaciones, la H₀ generalmente se plantea esperando que sea rechazada (es decir, que los datos muestrales no la apoyen). Es la hipótesis que se somete a contrastación estadística.

Hipótesis Alterna (H_a o H₁)

La Hipótesis Alterna (H_a o H₁) es el supuesto alternativo a la H₀. Es decir, si la H₀ es rechazada, entonces los datos apoyan el cumplimiento de la H₁. También se le conoce como hipótesis de trabajo y es la hipótesis que el investigador espera que sea apoyada por los datos muestrales.... Continuar leyendo "Prueba de Hipótesis Estadística: Conceptos y Procedimiento" »

Prioridades

1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales.

2º.Calcular las potencias y raíces

3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

4º.Efectuar los productos y cocientes.

5º.Realizar las sumas y restas.

Primero operamos con las productos y números mixtos de losparéntesis.

Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.

Realizamos el producto y lo simplificamos.

Realizamos las operaciones del paréntesis.

Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.

Vocabulario Esencial de Probabilidad y Estadística

Este documento presenta una colección de términos fundamentales en el campo de la probabilidad y la estadística, esenciales para comprender sus principios básicos y aplicaciones.

Fundamentos de Probabilidad

Probabilidad

Mide la mayor o menor posibilidad de un determinado resultado.

Espacio Muestral

Conjunto de todos los resultados posibles.

Evento Compuesto

Se dice que esto ocurre cuando uno o cualquiera de los eventos más simples que lo forman.

Enfoque Clásico de Probabilidad

La proporción del número de casos favorables (w) al número de casos posibles (m).

Enfoque Subjetivo

La probabilidad puede ser vista como una medida del grado de creencia que uno tiene.

Enfoque de Frecuencia Relativa

Permite... Continuar leyendo "Vocabulario Esencial de Probabilidad y Estadística: Términos Clave Explicados" »

Problemas en Modelos de Regresión Lineal

Multicolinealidad

La multicolinealidad presenta las siguientes consecuencias:

• Teóricas: La estimación por MCO proporciona poca información, existe imposibilidad de aislar la influencia de cada variable explicativa sobre la endógena, y las estimaciones resultan poco precisas y poco potentes.
• Prácticas: Los errores estándar de los estimadores aumentan, los intervalos de confianza son más amplios, los parámetros resultan poco significativos y las estimaciones son poco robustas.

Autocorrelación y Durbin-Watson

Para el diagnóstico mediante el estadístico Durbin-Watson, se deben considerar los últimos valores de cada fila (rho y Durbin-Watson). La hipótesis nula es H₀: ρ = 0 (no existe autocorrelación)... Continuar leyendo "Problemas en Modelos de Regresión Lineal: Diagnóstico y Soluciones" »

Funciones Definidas a Trozos

Las funciones definidas a trozos (o por partes) son aquellas cuya expresión cambia según el intervalo del dominio en el que se encuentre la variable independiente. Los puntos de discontinuidad o los extremos de los intervalos se representan con un círculo abierto cuando el valor no está incluido en el dominio (por ejemplo, en desigualdades estrictas como '<' o '>', o en el infinito).

Características Generales de las Funciones

Dominio de una Función

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles que la variable independiente (generalmente x) puede tomar. Se calcula en el eje de las abscisas (eje X).

• Se utilizan corchetes abiertos ( ) para indicar intervalos que no incluyen los extremos,