Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Primaria

Regla de la cadena: Considere una función f que depende de las variables x, y, así z = f(x, y) y en donde x e y son funciones de t, es decir, x = x(t) e y = y(t). Luego tenemos que ∂f/∂t = ∂f/∂x * dx/dt + ∂f/∂y * dy/dt.

Derivada Direccional y Vector Gradiente

1. Sacar derivadas parciales de cada variable y reemplazar el punto dado en esas derivadas = vector gradiente.
2. Restar puntos para sacar vector PQ y dividirlo por el módulo PQ = vector unitario.
3. D_uf = U * vector gradiente.

Teorema de la Función Implícita

(Este dice que una expresión "x" define a z = f(x,y)). Requisitos de la derivación implícita:

1. Analizar si f(x,y,z) es derivable (diferenciable).
2. f(x,y,z) debe anularse en el punto dado (=0).
3. La derivada parcial de z en el punto

Estadística Descriptiva: Organización y Resumen de Datos

Construcción de Intervalos de Frecuencia

Pasos para agrupar datos en intervalos:

1. Calcular el recorrido o amplitud total de la distribución (R = X_max - X_min).
2. Estimar el número de intervalos (k). Se pueden usar reglas como la de Sturges (k ≈ 1 + 3.322 * log₁₀(N)) o elegir un número conveniente (usualmente entre 5 y 15).
3. Determinar la amplitud de los intervalos (A ≈ R / k). Se suele redondear por exceso a un número manejable.
4. Calcular los límites de cada intervalo, asegurando que cubran todo el recorrido de los datos. Definir el límite inferior del primer intervalo y el límite superior del último intervalo.
5. Calcular las frecuencias (absolutas, relativas, acumuladas) para cada intervalo.

Test F para comparar varianza: Si Fexp>Ftab (hay dif), valor p asoc p<0,005 hay="" dif,="" sabiendo="" que="" la="" distrib="" es="" normal="" y="" hay="" igualdad="" de="" varianz,="" realizo="" comparación="" (texp="">ttab,haydif) Que ocurre si S1 es distinto a S2: Se obtiene un valor t considerando c/u de los valores de varianza (no son combinables) || Constraste T para datos pareados: Para comparar el resultado del análisis de una misma muestra que fue realizado bajo dos circustancias distintas: Se debe observar diferencia (d) entre c/par de resultados: si no hay dif entre resultados, los valores de d se obtienen de una población con dmedia=0, se prueba si: dmedia difiere=0-> t-estad (texp=dmedia*raizn/Sd texpEliminación

Estado: El Estado de un Sistema Dinámico es el conjunto de variables más pequeño llamadas variables de estado, por lo que el conocimiento de estas variables en t=t₀, junto con la entrada para t≥t₀, determinan el comportamiento del Sistema en cualquier t≥t₀.

Variables de Estado: Son el menor conjunto de variables que determinan el estado del Sistema dinámico. Si al menos se necesitan n variables x₁, x₂,...,x_n, para describir completamente el comportamiento del sistema, entonces tales n variables son un conjunto de variables de estado.

Vector de Estado: Si se necesitan “n” variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas “n” variables de estado se consideran los “n” componentes... Continuar leyendo "Modelado de Sistemas Dinámicos: Definiciones Clave del Espacio de Estados" »

Objetivos del Estudio de Conglomerados

El objetivo principal de este ejemplo de aplicación del análisis de conglomerados es determinar si es posible distinguir diferentes tipos de Comunidades Autónomas (CC.AA.) de acuerdo con las características de sus respectivos mercados laborales.

El punto de partida es la hipótesis de que existen diferentes situaciones laborales en las diversas CC.AA.

En este estudio, se busca determinar cuántos conglomerados de CC.AA. es adecuado distinguir y cuáles son sus características distintivas.

Diseño Metodológico del Agrupamiento

La etapa de diseño para el análisis de conglomerados implica cuatro tareas fundamentales:

• Selección de variables: Elegir las variables pertinentes, evitando incluir aquellas altamente

Kapitalaren eta Ekonomiaren Nazioarteratzea

Nazioarteratzearen Faseak

• 1820-XIX. mendearen amaiera: Merkantzien salerosketa.
• XIX. mendearen amaiera-II. Mundu Gerra: Kapitalen nazioarteratzea.
• 1950eko hamarkadatik aurrera: Jarduera produktiboaren nazioarteratzea.

Nazioarteratzearen Protagonistak

Nazioarteratze honek bi protagonista nagusi ditu: finantza sektorea eta enpresa transnazionalak (herrialde batean baino gehiagotan kokatutakoak).

Herrialde Azpigaratuen Arazo Nagusiak

• Lazeria (miseria) egoera.
• Elikagaien gabezia.
• Alfabetatze eza.
• Hazkunde demografiko nabarmena.
• Langabezia.
• Estatu ahulak eta korrupzioa.

Azpigarapenaren Zergatiaren Bi Ikuspuntu

Klasikoa: Rostow-en Etapen Teoria

Rostow-en ikuspuntu klasikoaren arabera, azpigarapena atzerapen bat da. Teoria... Continuar leyendo "Kapitalaren Nazioarteratzea eta Desberdintasun Ekonomikoa" »

Valor Absoluto: Definición y Propiedades Fundamentales

Para cada x ∈ ℜ se define su valor absoluto por la expresión:

|x| =
x si x ≥ 0
−x si x < 0

Propiedades del Valor Absoluto

Para cada x, y ∈ ℜ:

• 1. No Negatividad: |x| > 0 si x ≠ 0, y |0| = 0.
• 2. Multiplicatividad: |xy| = |x||y|. Además, |−x||y| = |x||−y| = |−(xy)|.
• 3. Relación con Desigualdades:
  • |x| ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a.
  • |x| < a equivale a −a < x < a.
• 4. Desigualdad Triangular: |x + y| ≤ |x| + |y|. Esta es la famosa desigualdad triangular. En general, para cualesquiera x₁, …, x_k ∈ ℜ, se cumple |x₁ + … + x_k| ≤ |x₁| + … + |x_k|.
• 5. Desigualdad Triangular Inversa: ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

Convergencia de Sucesiones Reales

Definición

Análisis de Conglomerados: Metodología y Determinación de Clústeres

Representatividad y Multicolinealidad

• Representatividad: Los casos seleccionados deben representar grupos “reales” en la población.
• Multicolinealidad: Es crucial eliminar variables que solo aportan información redundante. Se debe examinar el grado de correlación entre las variables para evitar incluir aquellas altamente correlacionadas con las demás.

Extracción: Etapas y Tareas

La etapa de extracción comprende cuatro tareas fundamentales:

1. Método de Conglomeración: Selección del método de conglomeración adecuado.
2. Determinación de las Distancias: Cálculo y análisis de la matriz de distancias.
3. Determinación del Número de Conglomerados: Identificación del número

Conceptos Fundamentales de Estadística

Este documento aborda la clasificación de variables, las principales medidas estadísticas y las propiedades de los hexaminós.

Clasificación de Variables Estadísticas

A continuación, se clasifican las siguientes variables en cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas:

• a. La nacionalidad de una persona: Variable cualitativa
• b. Número de litros de agua contenidos en un depósito: Variable cuantitativa continua
• c. Número de libros en un estante de librería: Variable cuantitativa discreta
• d. Suma de puntos obtenidos en el lanzamiento de un par de dados: Variable cuantitativa discreta
• e. La profesión de una persona: Variable cualitativa
• f. El área de las distintas baldosas de un edificio:

Estadística Descriptiva

Tabla de Distribución de Frecuencias

Las tablas de distribución de frecuencias nos entregan información importante sobre el comportamiento de nuestras variables.

• Frecuencia Absoluta (fi): Corresponde al número de sujetos en la categoría i. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número de observaciones (n).
• Frecuencia Relativa (hi): Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta de cada categoría por el número total de observaciones. La suma de las frecuencias relativas es igual a la unidad (1).
• Frecuencia Acumulada (Fi): Se expresa en número de individuos hasta la categoría i.
• Frecuencia Relativa Acumulada (Hi): La frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada se expresan en porcentaje.
• Rango: De