Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Primaria

Regla de la cadena: Considere una función f que depende de las variables x, y, así z = f(x, y) y en donde x e y son funciones de t, es decir, x = x(t) e y = y(t). Luego tenemos que ∂f/∂t = ∂f/∂x * dx/dt + ∂f/∂y * dy/dt.

Derivada Direccional y Vector Gradiente

1. Sacar derivadas parciales de cada variable y reemplazar el punto dado en esas derivadas = vector gradiente.
2. Restar puntos para sacar vector PQ y dividirlo por el módulo PQ = vector unitario.
3. D_uf = U * vector gradiente.

Teorema de la Función Implícita

(Este dice que una expresión "x" define a z = f(x,y)). Requisitos de la derivación implícita:

1. Analizar si f(x,y,z) es derivable (diferenciable).
2. f(x,y,z) debe anularse en el punto dado (=0).
3. La derivada parcial de z en el punto

Estadística Descriptiva: Organización y Resumen de Datos

Construcción de Intervalos de Frecuencia

Pasos para agrupar datos en intervalos:

1. Calcular el recorrido o amplitud total de la distribución (R = X_max - X_min).
2. Estimar el número de intervalos (k). Se pueden usar reglas como la de Sturges (k ≈ 1 + 3.322 * log₁₀(N)) o elegir un número conveniente (usualmente entre 5 y 15).
3. Determinar la amplitud de los intervalos (A ≈ R / k). Se suele redondear por exceso a un número manejable.
4. Calcular los límites de cada intervalo, asegurando que cubran todo el recorrido de los datos. Definir el límite inferior del primer intervalo y el límite superior del último intervalo.
5. Calcular las frecuencias (absolutas, relativas, acumuladas) para cada intervalo.

La probabilidad de que ocurra al menos 1 de los 2 sucesos se calcula mediante la fórmula P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B).

La probabilidad de que ocurra exactamente uno de los dos sucesos se calcula mediante la fórmula P{ (A∩B) U (A∩B) }.

La probabilidad de ‘A’ dado que ha ocurrido ‘B’ se calcula mediante la fórmula P(A/B) = P(A∩B) / P(B).

Los sucesos son independientes cuando P(A/B) = P(A).

Los sucesos aleatorios son incompatibles cuando no pueden ocurrir simultáneamente.

Los sucesos aleatorios son independientes cuando la condición no aporta ninguna ‘información relevante’ que modifique la probabilidad del otro.

Teorema de la Prob. Total: La probabilidad de un evento final es la suma de las multiplicaciones de las probabilidades

Siglo XVIII

Neoclasicismo e ilustración

Nos muestra esta tendencia a recuperar la estética clásica. Rechazando el movimiento Barroco.

Hay una defensa en los rasgos proporcionales, harmónicos, naturales… Hay una confianza en la razón. Intentan buscar la catarsis (identificarse y mejoras como personas a través de una obra).

También se le conoce como la ilustración, que va más allá del arte. Parte de la idea que el tener conocimiento nos hace más humanos, más racionales. Es la época de las enciclopedias.

En el siglo XVIII sucede la revolución francesa (1789). Y eso marca el inicio de la Edad Contemporánea. Ya que por primera vez se aporta los valores de igualdad, libertad i fraternidad.

A nivel literario, la poesía es el género que... Continuar leyendo "Neoclasicismo e Ilustración en el Siglo XVIII y el Romanticismo y Realismo en el Siglo XIX" »

Objetivos del Estudio de Conglomerados

El objetivo principal de este ejemplo de aplicación del análisis de conglomerados es determinar si es posible distinguir diferentes tipos de Comunidades Autónomas (CC.AA.) de acuerdo con las características de sus respectivos mercados laborales.

El punto de partida es la hipótesis de que existen diferentes situaciones laborales en las diversas CC.AA.

En este estudio, se busca determinar cuántos conglomerados de CC.AA. es adecuado distinguir y cuáles son sus características distintivas.

Diseño Metodológico del Agrupamiento

La etapa de diseño para el análisis de conglomerados implica cuatro tareas fundamentales:

• Selección de variables: Elegir las variables pertinentes, evitando incluir aquellas altamente

Kapitalaren eta Ekonomiaren Nazioarteratzea

Nazioarteratzearen Faseak

• 1820-XIX. mendearen amaiera: Merkantzien salerosketa.
• XIX. mendearen amaiera-II. Mundu Gerra: Kapitalen nazioarteratzea.
• 1950eko hamarkadatik aurrera: Jarduera produktiboaren nazioarteratzea.

Nazioarteratzearen Protagonistak

Nazioarteratze honek bi protagonista nagusi ditu: finantza sektorea eta enpresa transnazionalak (herrialde batean baino gehiagotan kokatutakoak).

Herrialde Azpigaratuen Arazo Nagusiak

• Lazeria (miseria) egoera.
• Elikagaien gabezia.
• Alfabetatze eza.
• Hazkunde demografiko nabarmena.
• Langabezia.
• Estatu ahulak eta korrupzioa.

Azpigarapenaren Zergatiaren Bi Ikuspuntu

Klasikoa: Rostow-en Etapen Teoria

Rostow-en ikuspuntu klasikoaren arabera, azpigarapena atzerapen bat da. Teoria... Continuar leyendo "Kapitalaren Nazioarteratzea eta Desberdintasun Ekonomikoa" »

Valor Absoluto: Definición y Propiedades Fundamentales

Para cada x ∈ ℜ se define su valor absoluto por la expresión:

|x| =
x si x ≥ 0
−x si x < 0

Propiedades del Valor Absoluto

Para cada x, y ∈ ℜ:

• 1. No Negatividad: |x| > 0 si x ≠ 0, y |0| = 0.
• 2. Multiplicatividad: |xy| = |x||y|. Además, |−x||y| = |x||−y| = |−(xy)|.
• 3. Relación con Desigualdades:
  • |x| ≤ a equivale a −a ≤ x ≤ a.
  • |x| < a equivale a −a < x < a.
• 4. Desigualdad Triangular: |x + y| ≤ |x| + |y|. Esta es la famosa desigualdad triangular. En general, para cualesquiera x₁, …, x_k ∈ ℜ, se cumple |x₁ + … + x_k| ≤ |x₁| + … + |x_k|.
• 5. Desigualdad Triangular Inversa: ||x| − |y|| ≤ |x − y|.

Convergencia de Sucesiones Reales

Definición

Análisis de Conglomerados: Metodología y Determinación de Clústeres

Representatividad y Multicolinealidad

• Representatividad: Los casos seleccionados deben representar grupos “reales” en la población.
• Multicolinealidad: Es crucial eliminar variables que solo aportan información redundante. Se debe examinar el grado de correlación entre las variables para evitar incluir aquellas altamente correlacionadas con las demás.

Extracción: Etapas y Tareas

La etapa de extracción comprende cuatro tareas fundamentales:

1. Método de Conglomeración: Selección del método de conglomeración adecuado.
2. Determinación de las Distancias: Cálculo y análisis de la matriz de distancias.
3. Determinación del Número de Conglomerados: Identificación del número

1)Usar la ecuacion punto pendiente: p1(4,3) y tiene una pendiente de: m=2/5  Formula: y-y1 =m(x-x1)... y-3=2/5(x-4)...5(y-3=2(x-4)...5y-15=2x-8... 0=2x-5y+15-8...0=2x-5y+7.... 2):Punto ordenada al origen: encontrar la recta que tiene m:-3/5 y tiene una ordenada de origen de (-7) formula y=mx+b...y=3/5x+(-7)...y=3/5x-7...5y=-3x-7(5)...5y=-3x-35...3x+5y+35=0. 3)ordenada al origen - absisa al origen: absisa=6 ordenada=(-2) formula: x/a+y/b=1... x/6+y/-2=1...x/6-y/-2=1.... 2x-6y/12....2x-6y=1(12)....2x-6=12...2x-6y-12=0.  Para encontrar la pendiente la formula es: y2-y1/x2-x1

Estadística Descriptiva

Tabla de Distribución de Frecuencias

Las tablas de distribución de frecuencias nos entregan información importante sobre el comportamiento de nuestras variables.

• Frecuencia Absoluta (fi): Corresponde al número de sujetos en la categoría i. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número de observaciones (n).
• Frecuencia Relativa (hi): Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta de cada categoría por el número total de observaciones. La suma de las frecuencias relativas es igual a la unidad (1).
• Frecuencia Acumulada (Fi): Se expresa en número de individuos hasta la categoría i.
• Frecuencia Relativa Acumulada (Hi): La frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada se expresan en porcentaje.
• Rango: De