Apuntes, resúmenes, trabajos, exámenes y ejercicios de Matemáticas de Universidad

Congruencias y Divisibilidad

Proposición 2

Sean a y b dos números naturales. Entonces **a es congruente a b módulo m** si ambos dan el mismo **resto** al dividirlos por m.

Demostración

Si a = q₁m + r y b = q₂m + r, entonces a - b = (q₁ - q₂)m, así a b (mod m).

Recíprocamente, si a b (mod m), entonces a = b + km. Si b = qm + r, se sigue que a = qm + r + km = (q + k)m + r y ambos dan el mismo resto al dividirlos por m.

Lema 1

Sea x un entero positivo. 9 divide a x si y solo si 9 divide a la **suma de las cifras** de x.

Demostración

Observamos que 10^r 1 (mod 9) para todo r > 0.

Entonces

x = x_n10ⁿ + x_n-110^n-1 + ... + x₂10² + x₁10 + x₀

x_n + x_n-1 + ... + x₂ + x₁ + x₀

Proposición 3

La ecuación ax 1 (mod m) tiene solución si... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Aritmética Modular" »

Bisección.- f(1),f(2),f(3) hasta que encontremos cambio de signo.. R1€[a,b] ... F(a+b)/2 hasta que se vaya acercando .. Error<=|b-a|>=|b-a|>

Pto fijo.- Te dan f(x); la dibujas y buscas el intervalo que la contenga [a,b]; despejas una x de la f(x) y la llamas g(x); ahora hay que ver si esta maquina es valida.. Para ello tiene que cumplir dos condiciones.. La primera es que a<><=b y="" que="">=b><><=b..... La="" segunda="" condición="" es="" que="">=b.....><><1 y="" que="">1><><1 siendo="" k="" el="" numero="" mas="" alto="" después="" de="" sustituir="" a="" y="" b="" en="" la="" derivada="" de="" g;="" si="" se="" cumple="" esto..="" seleccionas="" un="" valor="">1>₀ que... Continuar leyendo "Fundamentos y Algoritmos de Métodos Numéricos: Raíces y Sistemas Lineales" »

Paso 1. Entender el Problema

Factores Cognitivos:

• IDENTIFICAR: que el enunciado corresponde a un problema de razón de cambio.
• DIFERENCIAR: los datos, cuáles son constantes y cuáles son variables.
• RECONOCER: que entre los datos e incógnitas hay razones de cambio dadas y otras que son incógnitas.
• DEFINIR: las variables involucradas: la variable dependiente (el volumen del globo), la variable intermediaria (el radio del globo) y la variable independiente (el tiempo).
• Para la segunda pregunta, hay que definir además la variable dependiente (el área superficial), la variable intermediaria (el radio) y la variable independiente (el tiempo).
• COMPRENDER: que las preguntas se formulan sobre un valor fijo de la variable independiente.
• OBSERVAR: que se

MUESTRA: (n) parte o subconjunto de una población o universo.

POBLACIÓN: (N) el total de individuos u objetos que intervienen en un proceso de investigación o estudio.

MUESTREO: Conjunto de técnicas que permiten seleccionar una muestra que representa a la población.

NOTACIÓN: Medidas. N° de observaciones, media o promedio, desviación, varianza.

POBLACIÓN: N, μ, σ, σ²

MUESTRA: n, X̄, S, S²

μ = media poblacional, X̄ = media muestral, σ² = varianza de la población, σ = desviación estándar o típica, S = desviación estándar muestral, S² = varianza muestral.

UNIDAD ELEMENTAL: Es el objeto de análisis. También le dicen el fenómeno de estudio o unidad de análisis.

ERROR DE MUESTREO: Se comete error de muestreo cuando el investigador... Continuar leyendo "Fundamentos del Muestreo Estadístico: Población, Tipos y Errores" »

Examen Final: Didàctica de la Matemàtica

1. Definició de Guy Brousseau de Didàctica de la Matemàtica

La Didàctica de la Matemàtica és la ciència de les condicions de creació i difusió dels coneixements matemàtics. Cal entendre la creació no en el sentit de la primera aparició històrica, sinó com a recreació, és a dir, com el plaer de descobrir diferents formes i mètodes d'ensenyar matemàtiques.

2. Tipus de Coneixement Lògico-Matemàtic

El coneixement lògico-matemàtic és fruit d'una activitat interna del nen o nena, d'una abstracció reflexiva a partir de les relacions amb els objectes. El pensament dels alumnes d'Educació Primària (6-11 anys) és concret, per tant, no poden obtenir aquest coneixement per transmissió verbal.... Continuar leyendo "Didàctica de la Matemàtica: Conceptes i Aplicacions" »

Conceptos Básicos de Estadística Descriptiva

Tipos de Variables

• Muestra y Población (Estadística Descriptiva)
• Variables Discretas: Toman valores enteros (por ejemplo, número de hijos).
• Variables Continuas: Toman valores decimales (por ejemplo, altura).
• Variables Nominales: Categorías sin orden (por ejemplo, sí/no).
• Variables Ordinales: Categorías con orden (por ejemplo, poco/mucho).
• Amplitud de Intervalo: L_i - L_i-1, donde el intervalo se representa como (L_i-1, L_i).

Representaciones Gráficas

• Variables Cuantitativas:
  • Diagramas de barras
  • Histogramas
  • Polígonos de frecuencia
• Variables Cualitativas:
  • Diagramas de sectores
  • Diagramas de rectángulos
  • Pictogramas
• Outlier (Valor Atípico): Observación que cae fuera del patrón general de los datos.

Medidas de

Extremos Absolutos

Para hallar los extremos absolutos, tendremos siempre dos ecuaciones que formarán el recinto y una función F (a veces hay que deducirla, como en el ejercicio de la distancia entre puntos: $d(A, B) = \sqrt{(x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}$).

Procedimiento paso a paso:

1. Representar la función: Dibujar el recinto definido por las ecuaciones.
2. Extremos libres en el interior del recinto: Derivamos respecto a x e y en la función F, igualamos a cero y obtenemos los puntos críticos.
3. Extremos condicionados en la frontera: Debemos centrarnos en las partes que forman el recinto. Aplicamos el método de los multiplicadores de Lagrange: $L = F(x, y) + \lambda(g(x, y))$, donde $g(x, y)$ es la ecuación de la frontera totalmente despejada.

Endomorfismo y Dependencia Lineal de Vectores Base

Consideremos un endomorfismo f: E → E en un espacio vectorial de dimensión finita E. Si tenemos una base {e₁, e₂} tal que:

• f(e₁) = λ₁e₁
• f(e₂) = λ₂e₂

Supongamos que e₁ y e₂ son linealmente dependientes. Esto implica que existe un escalar α ≠ 0 tal que e₁ = αe₂.

Aplicando el endomorfismo f a e₁:

• f(e₁) = λ₁e₁ = λ₁(αe₂) = αλ₁e₂
• f(e₁) = f(αe₂) = αf(e₂) = α(λ₂e₂) = αλ₂e₂

Igualando ambas expresiones para f(e₁), obtenemos:

αλ₁e₂ = αλ₂e₂

Dado que α ≠ 0 y e₂ es un vector base (por lo tanto, no nulo), podemos simplificar para obtener:

λ₁ = λ₂

Esta conclusión contradice la suposición inicial de que e₁ y e₂ son... Continuar leyendo "Propiedades Fundamentales de Endomorfismos y Matrices en Álgebra Lineal" »

MEDIA: (t) yi= xi -a/b (a valor central, ni alto se coge xi; b dife. entre xi y m.c.d) ; yi.ni ; (no t): y= Eyi. ni/N ; x = a+ b.y 1. La suma de los desvíos de una variable con respecto a su media es 0: Se llaman desvíos de la variable respecto a la media (d_i) a las diferencias entre los valores de la variable y su media ( di=xi - x): X= E xi.ni/N= E di.ni= E (xi - x).ni= E (xi.ni - x.ni) = E xi.ni - E x. ni = Exi.ni - x Eni= E xi.ni - (Exi.ni/N) .N = E xi.ni - Exi.ni = 0 --> E a.xi + E b.yi = a Exi + b Eyi. 2. La suma de los desvíos de una variable al cuadrado es mínima cuando dichos desvíos están calculados respecto a la media: di= xi - x ; di^'= xi - a (siendo a un valor central) ; E (xi - a)² .ni ,, mínima para a = X. 3.... Continuar leyendo "Propiedades Estadísticas Clave: Media, Varianza y Moda" »

Isomorfismo y Grado de un Vértice

Dos grafos no orientados G1=(W1,F1) y G2=(W2,F2) diremos que son isomorfos si existe una aplicación biyectiva tal que: {v,w} ∈ F1 si y solo si {f(v),f(w)} ∈ F2.

Sea G=(W,F) un grafo no dirigido, llamaremos grado de un vértice al número de lados incidentes a dicho vértice. Lo denotaremos por gr(v).

Tipos de Grafos

Grafos Regulares y Completos

Un grafo se dice k-regular si todos sus vértices son de grado k.

Un grafo no orientado se dirá completo si cada vértice es adyacente con todos los demás; esto es, el grado de cada vértice es p-1, o lo que es lo mismo, es (p-1)-regular. Lo denotaremos por Kp.

Grafos Conexos y Distancia

Un grafo no orientado se dirá conexo si para cada par de vértices existe un camino... Continuar leyendo "Exploración de Conceptos Fundamentales en Teoría de Grafos" »